Soal: Wates Méja
Martingale $10 di méja $500. Sabaraha remen éta gagal, sabaraha karugianana lamun gagal, jeung naha naékkeun wates nulungan?
Genep kaéléhan ngaruntuy ngagagalkeunana: 1,8% per siklus, kira-kira 60% tina sési 100 puteran. Gagalna éta hargana $630. Naékkeun wates jadi $5.000 ngajadikeun gagalna leuwih jarang (0,25% per siklus) jeung leuwih gedé ($5.110). Ékspéktasi karugian per dolar anu ditohkeun téh 2,70% dina wates naon waé.
Soalna
Saurang pamaén masang $10 dina beureumtotohanBeureumTotohan 1:1 dina 18 angka beureum. Basa Prancis: rouge.Baca sagemblengna → sarta ngagandakeun totohan sanggeus unggal kaéléhan, balik deui ka awal sanggeus meunang. Totohan maksimum méja $500. (a) Sabaraha kaéléhan ngaruntuy anu ngagagalkeun progrésistratégiProgrésiAturan mana waé anu ngarobah jumlah totohan dumasar kana hasil saméméhna. Progrési négatif naékkeunana sanggeus éléh, progrési positif sanggeus meunang.Baca sagemblengna →? (b) Sabaraha probabilitasmatématikaProbabilitasKamungkinan hiji hasil, ti 0 nepi ka 1 atawa ti 0% nepi ka 100%. Hiji angka: 1/37 = 2,70%.Baca sagemblengna →-na per siklus? (c) Sabaraha anu leungit waktu gagal? (d) Kumaha wates $5.000 ngarobah jawabanana? (e) Naha aya wates anu ngajadikeun sistem ieu nguntungkeun?
Pamécahan (a)–(c)
Totohanana: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Anu katujuh bakal 640 > 500, jadi genep kaéléhan ngagagalkeunana. (b) p(éléh) = 19/37 dina beureum; (19/37)⁶ = 0,0183, kira-kira 1,8% per siklus. Hiji siklus lumangsung kira-kira dua puteran rata-rata, jadi sési 100 puteran boga kira-kira 50 siklus sarta p(sahenteuna sakali gagal) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, nyaéta 63 unitduitUnitJumlah totohan dasar anu dipaké ku hiji sistem atawa pamaén. Progrési dijelaskeun dina unit sangkan bisa dilarapkeun di méja mana waé.Baca sagemblengna → dasar, dibandingkeun jeung $10 anu rék dimeunangkeun ku siklus éta.
Pamécahan (d)
Dina $5.000: totohan nepi ka 2.560 diwenangkeun; totohan kasapuluh, 5.120, ditolak. Salapan kaéléhan ngagagalkeunana: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per siklus, kira-kira 11% tina sési 100 puteran. Karugian waktu gagal: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Pamaén geus meuli musibah anu leuwih jarang kalawan harga musibah anu leuwih gedé. Salila réa sési, ékspéktasi biaya gagal téh p × karugian ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per siklus dina wates $500 jeung 0,0025 × 5.110 = $12,8 dina $5.000; duanana deukeut tapi teu sarua, sarta masing-masing nyaéta ékspéktasi karugianmatématikaÉkspéktasi karugianNilai harepan dikali jumlah total anu ditohkeun; rata-rata jumlah anu leungit dina hiji sési atawa hiji période.Baca sagemblengna → siklus ditambah $10 anu dimeunangkeun ku siklus-siklus anu meunang.
Pamécahan (e)
Henteu. Ékspéktasi karugian per siklus = (ékspéktasi total totohan dina siklus) / 37, dina wates naon waé, sabab unggal totohan téh −1/37 tina dirina. Wates ngan nangtukeun kumaha karugian dibagi antara loba kameunangan leutik jeung saeutik karugian gedé. Tanpa wates jeung kalawan modalduitModal (bankroll)Jumlah total anu disisihkeun pikeun maén. Ngatur modal hartina mutuskeun sabaraha tina jumlah éta anu dipertaruhkeun dina unggal totohan jeung unggal sési.Baca sagemblengna → anu taya watesna, progrési bakal “mangpaat”, dina harti moal pernah gagal, sarta éta ogé bakal ngatohkeun jumlah anu taya watesna kalawan ékspéktasi karugian 2,70% tina jumlah anu taya watesna éta. Wates méjaméjaWates méjaTotohan minimum jeung maksimum anu diidinan. Maksimum téh anu ngeureunkeun progrési ngagandakeun.Baca sagemblengna → lain anu ngahalangan MartingalestratégiMartingaleProgrési anu ngagandakeun totohan sanggeus unggal kaéléhan. Tingali bagian Stratégi pikeun naon anu dilakukeun jeung naon anu henteu dilakukeun ku sistem ieu.Baca sagemblengna → tina mangpaat. Itunganana anu ngahalangan.
Dua Méja Nyata
Conto Thorp nyaéta méja $1 kalawan maksimum $1.000, di mana saurang pamaén ngarep-ngarep meunang $30 pikeun dahar peuting, sadolar-sadolar. Totohan 1, 2, 4 … 512 ngamungkinkeun sapuluh totohan, jadi sapuluh kaéléhan ngaruntuy ngagagalkeun progrési: sakali dina 785 siklus dina roda Éropa (sakali dina 613 dina roda Amérika), kalawan biaya $1.023. Tilu puluh siklus kabéh hasil 96,2% tina waktuna. Anu 3,8% deui leungit kira-kira $1.000, sarta rata-rata hasil peuting éta −$9,17, persis 1/37 tina $339 anu ditohkeun rata-rata ku tilu puluh siklus éta. Méja $5 kalawan maksimum $2.000 ogé teu béda: totohan nepi ka $1.280 ngamungkinkeun salapan totohan, sarta gagalna datang sakali dina 403 siklus dina roda Éropa (sakali dina 323 dina roda Amérika) kalawan biaya $2.555.
Pamaén Beunghar
Béré progrési modal anu jero gaganti wates anu handap: 1.000 unit, dasar hiji unit jeung 1.000 puteran dina beureum, mimitian deui ti hiji unit iraha waé gandaan saterusna leuwih gedé tibatan sésana. Urang nyimulasikeun sajuta peuting saperti kitu. Dina roda Éropa, 52% réngsé untung, 21% leungit sakabéhna, sarta rata-rata hasilna −124 unit. Sanajan dina kaulinan tanpa nolrodaNolHiji-hijina kantong héjo anu teu diwengku ku totohan 1:1, lusin atawa kolom mana waé; sumber kaunggulan kasino. Ogé: nol tunggal, 0.Baca sagemblengna →, di mana unggal totohan adil, ngan kira-kira 60% anu bakal réngsé untung. Peuting anu biasa téh kameunangan leutik; rata-ratana dibayar ku peuting-peuting anu réngsé di nol.
Palajaranana
Kasino nangtukeun wates pikeun ngawatesan variansmatématikaVariansUkuran sabaraha lega hasil-hasil sumebar di sabudeureun nilai harepan. Luhur pikeun straight up, handap pikeun totohan 1:1.Baca sagemblengna → maranéhna sorangan, lain pikeun ngéléhkeun sistem. Ngéléhkeun Martingale téh akibat sampingan anu ditarima kalawan bungah, sarta itunganana bakal ngéléhkeunana ogé. Pamaén anu nyangka wates téh masalahna geus manggihan jungkrangna tapi nyangka éta téh lamping.
Rumus
Pananya
Éta ngamungkinkeun anjeun salamet nepi ka wates anu leuwih luhur, di mana gagalna leuwih jarang jeung leuwih gedé. Ékspéktasi karugian per dolar teu robah.
Totohan 10, 30, 70, 150, 310: wates $500 kahontal sanggeus lima kaéléhan, sarta gagalna hargana $570. Tetep 2,70%.
Supaya hiji pamaén teu bisa masang totohan leuwih tibatan anu bisa dibayar kalawan aman ku cadangan kasino. Ngatur varians.
Ulin jeung Matématika
Coba heula ku sorangan. Unggal jawabanana dilipet; buka lamun anjeun geus siap.
MartingalestratégiMartingaleProgrési anu ngagandakeun totohan sanggeus unggal kaéléhan. Tingali bagian Stratégi pikeun naon anu dilakukeun jeung naon anu henteu dilakukeun ku sistem ieu.Baca sagemblengna → dimimitian ti $100 dina beureumtotohanBeureumTotohan 1:1 dina 18 angka beureum. Basa Prancis: rouge.Baca sagemblengna → jeung ngan ngidinan paling loba n totohan saban siklus: sanggeus n kaéléhan ngaruntuy éta nyerah jeung mimiti deui. Tuliskeun hasil rata-rata hiji siklus salaku rumus dina n, jeung itung pikeun 5, 6 jeung 7 totohan dina roda Éropa.
Témbongkeun jawabanana
Jawaban Rata-ratana 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pikeun 5 totohan, −$17,35 pikeun 6 jeung −$20,52 pikeun 7. Ngidinan leuwih réa totohan ngajadikeun siklus rata-rata leuwih goréng, lain leuwih alus.
Hiji siklus meunang $100 iwal lamun sakabéh n totohan éléh, anu kajadian kalawan probabilitas qⁿ, di mana q = 19/37. Lamun kabéh éléh, jumlah totohan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ jumlahna 100 × (2ⁿ − 1). Jadi rata-ratana 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Di dieu 2q = 38/37, saeutik leuwih ti 1, jadi (2q)ⁿ tumuwuh babarengan jeung n jeung rata-ratana turun: n = 5 méré 1,1426 jeung −$14,26; n = 6 méré 1,1735 jeung −$17,35; n = 7 méré 1,2052 jeung −$20,52. Tangga anu leuwih panjang leuwih jarang éléh, dina 3,6%, 1,8% jeung 0,9% siklus, tapi unggal karugianana dua kali leuwih gedé, jeung leuwih réa duit anu ngaliwatan méja saban siklus, dina 2,70% tina unggal totohan.
Dina roda Amérika 2q = 40/38 jeung angkana −$29,24, −$36,04 jeung −$43,20 (Taylor, 2021). Dina kaulinan tanpa nolrodaNolHiji-hijina kantong héjo anu teu diwengku ku totohan 1:1, lusin atawa kolom mana waé; sumber kaunggulan kasino. Ogé: nol tunggal, 0.Baca sagemblengna → 2q = 1, jeung unggal siklus rata-ratana pas nol sanajan sakumaha panjangna tanggana.
“Grand Martingale” ngagandakeun jumlah totohan sanggeus éléh jeung nambahan hiji unitduitUnitJumlah totohan dasar anu dipaké ku hiji sistem atawa pamaén. Progrési dijelaskeun dina unit sangkan bisa dilarapkeun di méja mana waé.Baca sagemblengna →, jadi jumlah totohanana 1, 3, 7, 15, 31 … Sabaraha untung anjeun lamun kameunangan kahiji datang dina totohan ka-1, ka-2, ka-3 atawa ka-k? Dina unit $10 jeung maksimum $500, sabaraha sering hiji siklus ancur, jeung sabaraha harga hiji siklus rata-ratana?
Témbongkeun jawabanana
Jawaban Kameunangan dina totohan ka-k nyésakeun untung k unit: +1, +2, +3 jeung saterusna. Dina $10 jeung $500 siklus ancur sanggeus lima kaéléhan, 3,57% tina siklus, kalawan −$570. Rata-rata hiji siklus kaleungitan $2,32 tina $85,73 anu dipasang: 2,70%.
Jumlah totohan ka-k nyaéta 2ᵏ − 1 unit: 1, 3, 7, 15, 31. k − 1 jumlah totohan kahiji jumlahna 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Kameunangan dina totohan ka-k mayar 2ᵏ − 1, jadi siklus réngsé kalawan untung (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unit: hiji unit tambahan pikeun unggal kaéléhan saméméh kameunangan.
Dina $10 saban unit jumlah totohanana $10, $30, $70, $150 jeung $310; saterusna, $630, leuwih ti maksimum $500. Lima kaéléhan ngaruntuy, (19/37)⁵ = 3,57%, hargana 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Rata-rata: kameunangan mawa $10 × k kalawan probabilitas (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pikeun k = 1 nepi ka 5, jeung kaancuran nyokot $570 kalawan probabilitas 3,57%; babarengan −$2,32. Duit anu dipasang rata-ratana $85,73 saban siklus, jeung 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale biasa dina méja anu sarua ancur sanggeus genep kaéléhan, 1,83% tina siklus, kalawan −$630, jeung kaleungitan $1,74 tina $64,20 anu dipasang: 2,70% deui.
Hiji pamaén ngarencanakeun Martingale dina beureum kalawan totohan kahiji $1 dina méja anu watesna $1.000, jadi sapuluh totohan mungkin: $1, $2, $4 jeung saterusna nepi ka $512. Sabaraha sering hiji siklus éléh kabéh sapuluh, sabaraha lila éta rata-ratana, jeung sabaraha sering hiji peuting 200 totohan réngsé kitu?
Témbongkeun jawabanana
Jawaban Hiji siklus éléh kabéh sapuluh kira-kira sakali ti 784, anu hargana $1.023. Éta rata-rata kira-kira 1.600 totohan, jeung peuting 200 totohan nabrak témbok kira-kira 11% tina waktuna. Hiji siklus tetep rata-rata kaleungitan $0,31 tina $11,31 anu dipasang: 2,70%.
Totohan dina beureum éléh kalawan probabilitas 19/37, nol kaasup. Sapuluh ngaruntuy: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, kira-kira 1 ti 784. Jumlah totohan 1 + 2 + 4 + … + 512 jumlahna $1.023.
Hiji siklus rata-rata merlukeun 2,05 totohan, jadi 784 siklus merlukeun kira-kira 1.600 totohan. Diitung puteran demi puteran, runtuyan sapuluh kaéléhan némbongan di mana waé dina 200 totohan 11,3% tina waktuna.
Di antara musibah pamaén meunang $1 saban siklus: kira-kira $783 saméméh anu goréng, tuluy −$1.023, kira-kira −$240 sapanjang sakabéh mangsa éta. Saban siklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Duit anu dipasang saban siklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Jeung −0,31/11,31 = −2,70%.
Bandingkeun totohan kahiji $10 dina wates $500, genep totohan: témbokna datang sakali dina 55 siklus, jeung peuting 200 totohan nabrakna 84% tina waktuna. Wates anu leuwih luhur ngajadikeun kacilakaan leuwih jarang jeung leuwih gedé, lain leuwih murah.
Selingan lucu
Leuwih jarang jeung leuwih gedé, dina unggal wates. Hasil kalina tetep.
Sumber
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.